Свободное падение, окружность и относительность

Мяч летит вверх и при этом свободно падает. Велосипед едет с постоянным показанием спидометра и всё же ускоряется. Разберём, почему эти фразы не противоречат друг другу, если следить за вектором скорости.

Подбрось мяч и мысленно убери воздух. После выпуска рука уже не действует, но Земля продолжает притягивать мяч. Движение только под действием тяготения называют свободным падением. Слово «падение» здесь указывает на действующее взаимодействие, а не на направление полёта: и подъём, и мгновение в высшей точке входят в эту модель. В реальности сопротивлением воздуха можно пренебречь лишь с нужной для задачи точностью.

Почему перо отстаёт от камня? Представим тот же опыт без воздуха: у поверхности Земли в одном месте оба тела получают одинаковое ускорение g ≈ 9,8 м/с² вниз независимо от массы. Воздух меняет результат, поскольку по-разному действует на тела. Во время подъёма направленное вниз ускорение уменьшает скорость, после вершины увеличивает её вниз. Даже когда скорость на миг нулевая, ускорение не исчезает.

Можно не брать g из таблицы, а измерить его. Отпустим тело без толчка и засечём время прохождения высоты h. Из формулы равноускоренного движения получаем h = gt²/2, значит g = 2h/t². Здесь h в метрах, t в секундах, результат в м/с². При том же g падение с вчетверо большей высоты длится вдвое дольше. Повторы показывают разброс измерений, но сами по себе не устраняют влияние сопротивления воздуха.

Теперь проследи за велосипедистом на круговой дорожке. Нарисуй стрелку скорости в двух близких местах: каждая направлена по касательной, и направления разные. Даже при неизменном числе на спидометре вектор скорости меняется. А изменение вектора за время и есть ускорение. Если велосипед перестанет поворачивать, он поедет вдоль текущей касательной, а не продолжит круг только потому, что прежде двигался по нему.

Куда направлено изменение скорости при равномерном движении по окружности? Совместим начала двух близких равных по длине стрелок скорости и соединим их концы. При уменьшении промежутка времени эта разность направляется к центру. Так возникает центростремительное ускорение aₙ. Оно перпендикулярно текущей скорости: непрерывно меняет направление движения, но при постоянном модуле скорости не добавляет разгона вдоль пути.

Быстрый и тесный поворот требует большего изменения направления за секунду. Геометрия окружности выражает это так: aₙ = v²/r, где v — модуль скорости в м/с, r — радиус в метрах. Удвоение v увеличит aₙ вчетверо, удвоение r уменьшит вдвое. При очень большом радиусе путь почти прямой и ускорение поворота мало; при v = 0 его нет. Единицы v²/r дают м/с².

Пассажир делает шаг в движущемся вагоне. За секунду земля видит два перемещения: самого вагона и пассажира внутри него. Поэтому скорость пассажира относительно земли — векторная сумма его скорости относительно вагона и скорости вагона относительно земли. Это правило классической механики для обычных скоростей. На одной прямой достаточно выбрать ось и сложить проекции; при разных направлениях складывают стрелки.

Поезд идёт вправо со скоростью 10 м/с, пассажир — влево по вагону со скоростью 1 м/с. За секунду вагон перенесёт его на 10 м вправо, а шаг отнимет 1 м: относительно земли получается 10 − 1 = 9 м/с вправо. А если бы он шёл назад с той же скоростью, что и поезд вперёд? Земной наблюдатель видел бы покой. Движение относительно вагона само по себе не определяет движение относительно земли.

Велосипедист движется с постоянным модулем скорости 6 м/с по окружности радиусом 12 м. Найдите ускорение.

Спидометр показывает постоянные 6 м/с, но велосипедист поворачивает. Значит, ускорение связано с направлением скорости и является центростремительным.

aₙ = v²/r = 6²/12 = 3 м/с². Единицы: (м/с)²/м = м/с².

В каждый момент ускорение направлено к центру окружности, перпендикулярно касательной скорости. Это не означает увеличение показания спидометра на 3 м/с за секунду.

При вдвое меньшей скорости ускорение уменьшилось бы вчетверо: до 0,75 м/с². Так проверяется квадратная зависимость.

Ускорение равно 3 м/с² и направлено к центру окружности. Оно поворачивает скорость, сохраняя её модуль 6 м/с.

Свободное падение — движение только под действием тяготения; мяч может в этот момент подниматься.

Постоянство модуля скорости не гарантирует нулевого ускорения: на окружности оно поворачивает вектор к центру.

Движение наблюдателя входит в результат измерения скорости через векторное сложение.

Теперь выясним, какие силы вызывают найденное ускорение.