พลศาสตร์แบบวงกลมและดาวเทียม

ถ้าแรงโน้มถ่วงดึงดาวเทียมลงตลอดเวลา เหตุใดมันจึงไม่ตกถึงพื้น และเหตุใดนักบินอวกาศข้างในจึงแทบไม่กดพื้น ทั้งที่โลกยังออกแรงต่อดาวเทียมอย่างชัดเจน

ทบทวนการเลี้ยว: ความเร็วมีทิศตามแนวสัมผัส ส่วนการเปลี่ยนความเร็วชี้สู่ศูนย์กลาง อันตรกิริยาใดทำให้เกิดความเร่งนี้ สำหรับดาวเทียมคือแรงโน้มถ่วง สำหรับวัตถุที่ผูกเชือกคือแรงตึงเชือก และสำหรับรถบนถนนราบคือแรงเสียดทาน สิ่งสำคัญในทุกกรณีคือองค์ประกอบสู่ศูนย์กลางของแรงลัพธ์จากแรงจริง หากองค์ประกอบนี้ไม่เพียงพอสำหรับอัตราเร็วและรัศมีที่กำหนด วัตถุจะไม่รักษาเส้นทางวงกลมนั้นไว้

วาดดาวเทียมและลูกศรแรงดึงดูดเข้าหาโลกหนึ่งลูก ต้องเพิ่มแรงสู่ศูนย์กลางอีกแรงหรือไม่ ไม่ต้อง เพราะชื่อนี้บอกบทบาทของแรงลัพธ์ที่วาดไว้แล้วในการเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ ไม่ใช่อันตรกิริยาใหม่ ลูกศรสองลูกที่เหมือนกันจะนับแรงโน้มถ่วงซ้ำ วิธีตรวจสอบแผนภาพแรงคือระบุให้ได้ว่าวัตถุหรือสนามใดเป็นต้นกำเนิดของแรงแต่ละแรง

จากจลนศาสตร์ เรารู้ว่าความเร่งที่ต้องการคือ aₙ = v²/r กฎข้อที่สองของนิวตันจึงให้แรงแนวรัศมีที่ต้องการเป็น Fₙ = maₙ = mv²/r เมื่อใช้มวล m หน่วยกิโลกรัม v หน่วย m/s และ r หน่วยเมตร จะได้แรงหน่วยนิวตัน มวลเพิ่มสองเท่าต้องใช้แรงสองเท่า แต่อัตราเร็วเพิ่มสองเท่าต้องใช้แรงสี่เท่า การเลี้ยวที่มีรัศมีกว้างขึ้นด้วยอัตราเร็วเดิมต้องใช้แรงน้อยลง ชื่อของแรงอาจต่างกันในแต่ละโจทย์ แต่ความสัมพันธ์นี้ยังเหมือนเดิม

ลองนึกภาพขว้างวัตถุในแนวราบจากที่สูงมากโดยไม่มีอากาศ ขณะวัตถุเคลื่อนไปข้างหน้า แรงโน้มถ่วงทำให้เบนลง และผิวโลกก็โค้งห่างลงไปเช่นกัน เมื่อมีอัตราเร็วตามแนวสัมผัสที่เหมาะสมและสูงเพียงพอ วัตถุจะไม่ชนผิวโลกอยู่ตลอด การตกอย่างอิสระจึงดำเนินต่อไปตามวงโคจร แรงไม่ได้ตรึงดาวเทียมให้อยู่นิ่งข้างบน แต่ทำให้ทิศความเร็วเปลี่ยนอย่างต่อเนื่อง

ทีนี้ปล่อยวัตถุภายในดาวเทียม โลกทำให้วัตถุกับดาวเทียมมีความเร่งเกือบเท่ากัน วัตถุจึงไม่ต้องอาศัยพื้นรองรับเพื่อเคลื่อนที่ไปกับยาน แรงสัมผัสและน้ำหนักเกือบเป็นศูนย์ เกิดเป็นสภาวะไร้น้ำหนัก หลักการเดียวกันนี้เกิดในลิฟต์ที่กำลังตก แรงโน้มถ่วงบนวงโคจรยังมีค่ามากอยู่ คำว่าเกือบมาจากความแตกต่างเล็กน้อยของสนามและผลกระทบอื่น ๆ

สำหรับวงโคจรวงกลมในอุดมคติใกล้ผิวดาวเคราะห์ ความเร่งที่ต้องการ v₁²/R ต้องเท่ากับ g จึงได้ v₁ = √(gR) ซึ่งคืออัตราเร็วโคจรใกล้ผิวดาวเคราะห์ หรืออัตราเร็วคอสมิกอันดับหนึ่ง โดย R คือรัศมีดาวเคราะห์และ g คือความเร่งที่ผิวดาวเคราะห์ มวลดาวเทียมตัดกันได้เพราะแรงโน้มถ่วงและความเฉื่อยต่างเพิ่มตามมวล หากเพิ่ม g หรือ R เป็นสองเท่าโดยคงอีกค่าหนึ่งไว้ สูตรให้ความเร็วเพิ่มเป็น √2 เท่า แต่ในดาวเคราะห์ต่าง ๆ ค่า g กับ R เชื่อมโยงกันผ่านการกระจายมวล

สำหรับโลกได้ v₁ ≈ 7,9 км/с ยานจริงไม่อาจโคจรด้วยอัตราเร็วนี้ชิดผิวโลก เพราะมีบรรยากาศและภูมิประเทศกีดขวาง แบบจำลองถือว่าดาวเคราะห์เป็นทรงกลมและไม่คิดการหมุนกับแรงต้านอากาศ สำหรับวงโคจรวงกลมที่สูงขึ้น ต้องใช้ระยะจากศูนย์กลางแทน R และความเร่งโน้มถ่วง ณ วงโคจรแทน g ที่ผิวดาวเคราะห์ จะใช้เพียงความสูงจากพื้นดินไม่ได้

ดาวเทียมสองดวงมวล 100 และ 200 kg เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเท่ากันบนวงโคจรวงกลมเดียวกัน จงเปรียบเทียบความเร่งและแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อแต่ละดวง

โจทย์กำหนดให้รัศมีวงโคจรและอัตราเร็วเท่ากัน ดังนั้น aₙ = v²/r ของดาวเทียมมวล 100 และ 200 kg จึงเท่ากัน เวกเตอร์ความเร็วของทั้งสองหมุนด้วยอัตราเท่ากัน

การทำให้มวลสองเท่ามีความเร่งเท่าเดิมต้องใช้แรงสองเท่า: F₂/F₁ = m₂/m₁ = 200/100 = 2.

แรงโน้มถ่วงของโลกแปรผันตรงกับมวลดาวเทียม จึงให้สัดส่วนนี้พอดี มวลเพิ่มทั้งแรงและความเฉื่อยพร้อมกัน ความเร่งจึงไม่เปลี่ยน

ความเร่งของดาวเทียมมีขนาดเท่ากัน และที่ทุกตำแหน่งชี้สู่ศูนย์กลางโลก แรงโน้มถ่วงบนดาวเทียมมวล 200 kg มีขนาดเป็นสองเท่าของแรงบนดาวเทียมมวล 100 kg

แรงสู่ศูนย์กลางคือบทบาทที่ต้องการจากแรงลัพธ์ของแรงจริง ไม่ใช่อันตรกิริยาใหม่ที่แยกออกมา

ดาวเทียมตกอย่างต่อเนื่อง การที่ยานและนักบินอวกาศตกไปด้วยกันอธิบายสภาวะไร้น้ำหนัก

v₁ = √(gR) ใช้กับวงโคจรวงกลมในอุดมคติใกล้ผิวดาวเคราะห์ ที่ความสูงอื่นต้องใช้ระยะและสนามที่สอดคล้องกัน

สำหรับวัตถุที่มีขนาดและอยู่นิ่ง เราจะต้องพิจารณาผลการหมุนของแรงด้วย