การตกอย่างอิสระและการเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ที่จุดสูงสุดของการโยนแนวดิ่ง ลูกบอลหยุดชั่วขณะ ส่วนจุดบนล้อที่หมุนสม่ำเสมอมีอัตราเร็วเท่าเดิมตลอด ทำไมทั้งสองกรณีจึงมีความเร่ง? ลองพิจารณาการเปลี่ยนขนาดและทิศของความเร็วแยกกัน

ปล่อยวัตถุหนักและเบาที่มีรูปทรงกะทัดรัดพร้อมกัน ทั้งสองตกลงมาเกือบพร้อมกัน ในแบบจำลองที่ไม่มีแรงต้านอากาศ ทั้งคู่เคลื่อนที่ภายใต้แรงโน้มถ่วงเพียงอย่างเดียว เรียกว่าการตกอย่างอิสระ ใกล้ผิวโลก ความเร่ง g\approx9{,}8\,\text{м/с}^2 ชี้ลงและไม่ขึ้นกับมวล นี่คือข้อค้นพบจากการทดลอง ต่อไปกฎพลศาสตร์จะเชื่อมโยงกับแรงโน้มถ่วงและความเฉื่อย ส่วนกระดาษที่ตกในอากาศต้องใช้แบบจำลองอื่น

ขณะโยน มือให้ความเร็วเริ่มต้นแก่ลูกบอล แต่เมื่อหลุดจากมือแล้วมือไม่ผลักต่อ แรงโน้มถ่วงยังเปลี่ยนความเร็วลงด้านล่าง ระหว่างขึ้นจะลดความเร็วที่ชี้ขึ้น ระหว่างลงจะเพิ่มความเร็วที่ชี้ลง ดังนั้นการตกอย่างอิสระรวมการเคลื่อนที่ขึ้นด้วย หากมีเพียงแรงโน้มถ่วง คำว่าอิสระบอกเงื่อนไข ไม่ใช่ทิศทางของวิถี

ปล่อยวัตถุโดยไม่ผลักและกำหนดแกนชี้ลง จะได้ v_0=0, a=g และความสัมพันธ์ของความเร็วที่รู้จักกลายเป็น v=gt เมื่อ g=10 m/s² อัตราเร็วเพิ่ม 10 m/s ทุกวินาที เวลาเป็นสองเท่าทำให้อัตราเร็วเป็นสองเท่า หากลด g อัตราเร็วในเวลาเท่ากันจะลดลง เมื่อ t=0 สูตรให้ศูนย์ตามเงื่อนไขปล่อยจากหยุดนิ่ง หากโยนวัตถุแต่แรกต้องใช้เงื่อนไขเริ่มต้นอื่น

วินาทีแรกวัตถุยังช้า วินาทีถัดไปเร็วขึ้น อัตราเร็วเฉลี่ยตั้งแต่ปล่อยถึงเวลา t เท่ากับ gt/2 จึงได้ h=gt^2/2 โดย h คือระยะทางลงในหน่วยเมตร การเพิ่มเวลาเป็นสองเท่าทำให้ระยะทางเป็นสี่เท่า เพราะทั้งเวลาและอัตราเร็วเฉลี่ยเพิ่มเป็นสองเท่า แบบจำลองต้องมี g คงตัว เริ่มจากหยุดนิ่ง และแรงต้านน้อยจนละเลยได้ จึงอธิบายการลงด้วยร่มชูชีพทั้งหมดไม่ได้

หากทราบความสูง ต้องหาว่าความเร็วสะสมได้นานเท่าไร จาก h=gt^2/2 ได้ t=\sqrt{2h/g} แล้วได้ v=\sqrt{2gh} เลือกรากบวก เพราะเป็นระยะเวลาและขนาดความเร็ว เมื่อความสูงเพิ่มเป็นสี่เท่า เวลาและอัตราเร็วเพิ่มเป็นสองเท่า หาก g น้อยลง วัตถุตกจากความสูงเดิมนานขึ้นแต่ถึงอัตราเร็วที่ต่ำกว่า เวลาที่นานขึ้นชดเชยความเร่งที่น้อยลงได้ไม่ทั้งหมด

เปรียบเทียบขณะก่อนและหลังจุดสูงสุดของการโยน ก่อนหน้านั้นลูกบอลขึ้น อีกไม่นานจะลง ความเร็วยังเปลี่ยนแม้กำลังผ่านศูนย์ ที่จุดสูงสุดจึงมี v=0 แต่ความเร่งยังเป็น g ชี้ลง ให้ H เป็นความสูงที่ขึ้นจากจุดโยน และ v_0 เป็นอัตราเร็วเริ่มต้น หากความเร่งหายไปด้วยและไม่กลับมา ลูกบอลที่หยุดก็จะค้างอยู่ด้านบน

กำหนดแกนชี้ขึ้น: a_x=-g และที่จุดสูงสุด v_x=0 จาก v_x^2-v_{0x}^2=2a_xs_x ได้ H=v_0^2/(2g) การโยนด้วยอัตราเร็วสองเท่าทำให้ขึ้นสูงสี่เท่า เพราะเริ่มเร็วขึ้นและใช้เวลาลดความเร็วจนหยุดนานขึ้น เมื่อ g มากขึ้นจะขึ้นได้ต่ำลง หาก v_0=0 จะไม่ขึ้น ในที่นี้ละเลยแรงต้านอากาศและการเปลี่ยน g ตามความสูง

ทำเครื่องหมายบนขอบล้อที่หมุนสม่ำเสมอ ในเวลาสั้น ๆ อัตราเร็วคงเดิมแต่ลูกศรความเร็วหมุนทิศ ผลต่างของลูกศรสองอันที่ใกล้กันชี้เข้าสู่ศูนย์กลาง ความเร่งจึงชี้ไปทางนั้นด้วย ส่วนความเร็วเองอยู่ตามเส้นสัมผัส ซึ่งเป็นทิศเคลื่อนที่ขณะนั้น รัศมี R มีหน่วยเมตร การหมุนทิศความเร็วคือการเปลี่ยนเวกเตอร์ แม้มาตรวัดอัตราเร็วแสดงค่าคงเดิม

ในเวลา \Delta t ทิศความเร็วหมุนไปประมาณมุม v\Delta t/R การเปลี่ยนลูกศรความเร็วจึงประมาณ v\times v\Delta t/R หารด้วยเวลาแล้วพิจารณาขีดจำกัดเมื่อช่วงเวลาสั้นลง ได้ a_{\text{ц}}=v^2/R ตัวคูณ v ตัวหนึ่งมาจากความยาวลูกศร อีกตัวมาจากความรวดเร็วในการหมุนทิศ อัตราเร็วสองเท่าต้องใช้ความเร่งสี่เท่า ส่วนที่อัตราเร็วเท่าเดิม รัศมีมากขึ้นทำให้เลี้ยวโค้งอ่อนลง

จับเวลาที่เครื่องหมายบนล้อกลับมาครบรอบหนึ่ง นี่คือคาบ T ในหน่วยวินาที ความถี่ \nu นับรอบต่อวินาทีและมีหน่วยเฮิรตซ์: \nu=1/T หากหนึ่งรอบใช้เวลา 2 s ในหนึ่งวินาทีจะหมุนครึ่งรอบ คือ 0.5 Hz คาบลดเหลือครึ่งหนึ่งทำให้ความถี่เป็นสองเท่า เมื่อหมุนช้ามาก คาบยาวและความถี่ใกล้ศูนย์ จุดที่อยู่นิ่งไม่มีคาบการหมุนที่มีค่าจำกัด

ในหนึ่งคาบ เครื่องหมายเดินทางครบเส้นรอบวงยาว 2\pi R ดังนั้น v=2\pi R/T=2\pi R\nu เมื่อรัศมีเท่าเดิม คาบครึ่งหนึ่งให้อัตราเร็วสองเท่า เมื่อคาบเท่าเดิม จุดที่รัศมีสองเท่าเดินทางไกลสองเท่าและเร็วสองเท่า การทำนายการเปลี่ยนต้องระบุว่าคงสิ่งใดไว้ คาบเท่ากันกับอัตราเร็วเชิงเส้นเท่ากันเป็นคนละเงื่อนไข

จุดสองจุดบนล้อเดียวกันหมุนไปมุมเท่ากันในหนึ่งวินาที แต่เดินทางต่างระยะ ใช้ความเร็วเชิงมุม \omega เพื่ออธิบายร่วมกัน เมื่อหมุนสม่ำเสมอ \omega=\varphi/t=2\pi\nu มีหน่วย rad/s โดย \varphi คือมุมที่หมุนจากจุดเริ่มนับที่เลือกในเวลา t หนึ่งรอบมี 2\pi เรเดียน เรเดียนเชื่อมส่วนโค้งกับรัศมี ความยาวส่วนโค้งเท่ากับรัศมีคูณมุมในหน่วยเรเดียน

ส่วนโค้งที่เดินทางต่อวินาทีเท่ากับรัศมีคูณมุมต่อวินาที: v=\omega R แทนค่าจะได้ a_{\text{ц}}=\omega^2R ดูเหมือนรัศมีมากขึ้นทำให้ความเร่งมากขึ้น ทั้งที่ใน v^2/R ทำให้ลดลง ไม่มีความขัดแย้ง เพราะกรณีนี้คง \omega ไว้ จุดด้านนอกจึงเคลื่อนที่เร็วขึ้นด้วย เมื่อ R\to0 โดยคง \omega อัตราเร็วเชิงเส้นและความเร่งจะเข้าใกล้ศูนย์

ปล่อยอนุภาคจุดจากหยุดนิ่ง จะเคลื่อนที่ได้ระยะทางเท่าไรใน 2 s หากไม่มีแรงต้านอากาศ? ให้ g=10 м/с².

เงื่อนไขตรงกับการตกจากหยุดนิ่งเมื่อ g คงตัว

ต้องการระยะทางจากเวลา จึงเลือก h=gt²/2.

แทนค่า: h=10×2²/2=20 м อัตราเร็วสุดท้าย v=gt=20 м/с.

ตรวจสอบด้วยอัตราเร็วเฉลี่ย: (0+20)/2×2=20 м.

ใน 2 s วัตถุเคลื่อนที่ลง 20 m และมีอัตราเร็วถึง 20 m/s อัตราเร็วเฉลี่ยเป็น 10 m/s วินาทีแรกไปได้เพียง 5 m แต่วินาทีที่สองไปได้ 15 m

ความเร็วศูนย์ในขณะหนึ่งไม่ได้หมายถึงความเร่งศูนย์ แรงโน้มถ่วงยังเปลี่ยนความเร็วลูกบอลที่จุดสูงสุด

สูตร v = gt และ h = gt²/2 อธิบายการปล่อยจากหยุดนิ่งเมื่อ g คงตัวและไม่มีแรงต้าน

ในการเคลื่อนที่เป็นวงกลม ความเร่งเปลี่ยนทิศความเร็ว การพิจารณาผลของรัศมีต้องระบุว่าคง v หรือ ω ไว้

ต่อไปจะเชื่อมความเร่งกับแรงลัพธ์