Свободное падение и движение по окружности

Мяч на вершине броска на миг останавливается, а точка на вращающемся колесе всё время движется с одним модулем скорости. Почему ускорение есть в обоих случаях? Проверим отдельно изменение величины скорости и её поворот.

Если одновременно отпустить тяжёлый и лёгкий компактные предметы, они падают почти вместе. В модели без сопротивления воздуха оба движутся только под действием тяжести: это свободное падение. Вблизи поверхности Земли ускорение g\approx9{,}8\,\text{м/с}^2 направлено вниз и не зависит от массы. Это экспериментальная закономерность; позже законы динамики свяжут её с силой тяжести и инертностью. Лист бумаги в воздухе проверяет уже другую модель.

При броске рука сообщает мячу начальную скорость, но после отрыва больше его не толкает. Тяжесть продолжает изменять скорость вниз: при подъёме она уменьшает направленную вверх скорость, при спуске увеличивает направленную вниз. Поэтому «свободное падение» включает и движение вверх, если действует только тяжесть. Слово «свободное» описывает условия движения, а не направление траектории.

Отпустим тело без начального толчка и направим ось вниз. Тогда v_0=0, a=g, и знакомая связь скорости превращается в v=gt. При g=10 м/с² каждую секунду добавляется 10 м/с. Удвоение времени удваивает модуль скорости, уменьшение g уменьшает его при том же времени. При t=0 формула даёт ноль, как и требует отпускание из покоя; начальный бросок потребовал бы другого начального условия.

За первую секунду тело ещё медленное, за следующую — уже быстрее. Средняя скорость от отпускания до момента t равна gt/2, поэтому h=gt^2/2. Здесь h — пройденное вниз расстояние в метрах. Удвоение времени увеличивает его вчетверо: удваиваются и время, и средняя скорость. Модель требует постоянного g, покоя на старте и пренебрежимо малого сопротивления; падение парашютиста ей целиком не описать.

Если дана высота, нужно выяснить, сколько времени успевает накапливаться скорость. Из h=gt^2/2 получаем t=\sqrt{2h/g}, а затем v=\sqrt{2gh}. Берём положительный корень: речь о длительности и модуле скорости. При увеличении высоты вчетверо время и скорость возрастают вдвое. При меньшем g тело с той же высоты падает дольше, но достигает меньшей скорости: более долгое действие не компенсирует полностью меньшее ускорение.

В верхней точке броска сравни два соседних момента: только что мяч двигался вверх, вскоре он движется вниз. Его скорость меняется и при прохождении нуля. Поэтому на вершине v=0, но ускорение остаётся g вниз. Высоту подъёма от места броска обозначим H, начальный модуль скорости — v_0. Если бы ускорение тоже исчезло и дальше не появлялось, остановившийся мяч так и оставался бы наверху.

Направим ось вверх: a_x=-g, а на вершине v_x=0. Из v_x^2-v_{0x}^2=2a_xs_x получаем H=v_0^2/(2g). Вдвое более быстрый бросок даёт вчетверо большую высоту: мяч и начинает быстрее, и дольше теряет скорость до остановки. Увеличение g сокращает подъём. При v_0=0 подъёма нет. Сопротивлением воздуха и изменением g с высотой здесь пренебрегаем.

Теперь поставим отметку на ободе равномерно вращающегося колеса. За короткое время модуль её скорости тот же, но стрелка скорости поворачивается. Разность двух близких стрелок направлена к центру, значит, туда направлено и ускорение. Сама скорость идёт по касательной: это направление движения в данный момент. Радиус R измеряется в метрах. Поворот скорости — полноценное изменение вектора, даже если показание спидометра постоянно.

За время \Delta t направление скорости поворачивается примерно на угол v\Delta t/R. Изменение самой стрелки тогда примерно равно v\times v\Delta t/R. Разделив на время и переходя к малому интервалу, получаем a_{\text{ц}}=v^2/R. Один множитель v связан с длиной стрелки скорости, другой — с быстротой её поворота. Удвоение скорости требует вчетверо большего ускорения; при прежней скорости увеличение радиуса делает поворот плавнее.

Засечём время одного полного возвращения отметки на колесе. Это период T в секундах. Частота \nu считает обороты в секунду и измеряется в герцах: \nu=1/T. Если один оборот длится 2 с, за секунду совершается половина оборота — 0,5 Гц. Вдвое меньший период означает вдвое большую частоту. При очень медленном вращении период велик, а частота близка к нулю; у неподвижной точки конечного периода оборота нет.

За один период отметка проходит всю окружность длиной 2\pi R. Поэтому v=2\pi R/T=2\pi R\nu. При прежнем радиусе вдвое меньший период удваивает скорость. При прежнем периоде точка на вдвое большем радиусе проходит вдвое больший путь и движется вдвое быстрее. Чтобы предсказать изменение, нужно назвать, что сохраняется: одинаковые периоды и одинаковые линейные скорости — разные условия.

Две точки одного колеса за секунду поворачиваются на один угол, хотя проходят разные расстояния. Для общего описания вводят угловую скорость \omega: при равномерном вращении \omega=\varphi/t=2\pi\nu, единица — рад/с. Здесь \varphi — угол, пройденный от выбранного начала отсчёта за время t; полный оборот содержит 2\pi радиан. Радиан связывает дугу с радиусом: дуга равна радиусу, умноженному на угол в радианах.

Дуга за секунду равна радиусу, умноженному на угол за секунду: v=\omega R. Подстановка даёт a_{\text{ц}}=\omega^2R. Кажется, теперь увеличение радиуса увеличивает ускорение, хотя в v^2/R оно его уменьшало. Противоречия нет: здесь сохраняется \omega, и внешняя точка одновременно движется быстрее. При R\to0 и фиксированной \omega её линейная скорость и ускорение стремятся к нулю.

Точку отпустили из покоя. Какой путь она пройдёт за 2 с без сопротивления воздуха? Примите g=10 м/с².

Условия соответствуют падению из покоя с постоянным g.

Нужен путь за время, поэтому выбираем h=gt²/2.

Подставляем: h=10×2²/2=20 м. Скорость в конце v=gt=20 м/с.

Проверка по средней скорости: (0+20)/2×2=20 м.

За 2 с тело пройдёт 20 м вниз и достигнет скорости 20 м/с. Средняя скорость была 10 м/с: за первую секунду оно прошло только 5 м, за вторую — уже 15 м.

Нулевая скорость в отдельный момент не означает нулевого ускорения: тяжесть продолжает изменять скорость мяча на вершине.

Формулы v = gt и h = gt²/2 описывают отпускание из покоя при постоянном g без сопротивления.

При движении по окружности ускорение поворачивает скорость. Зависимость от радиуса нужно обсуждать вместе с тем, что сохраняют — v или ω.

Далее свяжем ускорение с равнодействующей сил.