การสั่นเชิงกล

ที่ปลายสุด มวลติดสปริงหยุดชั่วขณะ แต่ความเร็วกลับเปลี่ยนเร็วที่สุดตรงนั้น ที่กลางเป็นตรงข้าม เราจะเชื่อมการสลับบทบาทนี้กับเฟส แรง และการแลกเปลี่ยนพลังงาน

ปล่อยมวลที่ดึงออกจากสมดุล สปริงดึงกลับและความเฉื่อยพาผ่านกลางไปอีกด้าน สภาพซ้ำกันเป็นการสั่น หนึ่งรอบสมบูรณ์ต้องกลับทั้งตำแหน่งและทิศการเคลื่อนที่เดิม หากเริ่มนับตอนผ่านกลางไปขวา การผ่านกลางไปซ้ายครั้งถัดไปเป็นเพียงครึ่งรอบ ภาพตำแหน่งเพียงภาพเดียวจึงบอกช่วงในรอบไม่ได้

จับเวลา t วินาทีสำหรับ n รอบสมบูรณ์ เวลาหนึ่งรอบคือ T=t/n และจำนวนรอบต่อวินาทีคือ \nu=n/t=1/T โดย T เป็นวินาที ν เป็นเฮิรตซ์: 1 Гц=1 с⁻¹ ความถี่เพิ่มสองเท่าทำให้คาบเหลือครึ่งหนึ่ง การจับหลายรอบลดผลสัมพัทธ์ของความคลาดเคลื่อนตอนเริ่มจับเวลา แต่แก้การนับรอบผิดไม่ได้ n ที่นี่นับรอบการสั่น ไม่ใช่รอบขดลวดจากบทก่อน

ให้สมดุลอยู่ที่ x=0 เครื่องหมายการกระจัด x บอกว่าอยู่ด้านใด แอมพลิจูด xₘ คือขนาดการกระจัดมากที่สุด หรือครึ่งระยะระหว่างปลายสุดทั้งสอง ทั้งคู่มีหน่วยเมตร เพิ่มแอมพลิจูดสองเท่าทำให้ช่วงแกว่งเต็มเพิ่มสองเท่า x ติดลบไม่ได้หมายถึงแอมพลิจูดลบ และตำแหน่งเฉลี่ยศูนย์ไม่ได้แปลว่าไม่มีการเคลื่อนที่

เฟสบอกว่าขณะนี้อยู่ช่วงใดของรอบ หนึ่งรอบตรงกับ 2π เรเดียน เฟสเริ่มต้น φ₀ กำหนดสภาพที่ t=0 เมื่อเฟสเพิ่มสม่ำเสมอ อัตราการเพิ่มคือ \omega=2\pi\nu=2\pi/T ในเรเดียนต่อวินาที เพิ่ม ω สองเท่าทำให้ครบรอบในเวลาครึ่งหนึ่ง ความถี่ในเฮิรตซ์กับความถี่เชิงมุมอธิบายจังหวะเดียวกัน แต่ค่าตัวเลขต่างกัน 2π เท่า

แรงดึงกลับเชิงเส้นอุดมคติให้ x=x_m\sin(\omega t+\varphi_0) เป็นการสั่นฮาร์มอนิกที่แอมพลิจูดและความถี่คงตัว ไซน์อยู่ระหว่าง −1 กับ +1 ดังนั้น x อยู่ระหว่าง −xₘ กับ +xₘ เปลี่ยน xₘ ยืดกราฟแนวตั้ง เปลี่ยน ω เปลี่ยนสเกลเวลา และ φ₀ เลื่อนเฟสเริ่มต้น มุมในไซน์เป็นเรเดียน ที่ φ₀=0 มวลเริ่มผ่านสมดุลไปทิศบวก

สปริงออกแรงมากขึ้นเมื่อเบนมาก ส่วนมวลต้านการเปลี่ยนความเร็ว สำหรับสปริงอุดมคติไร้มวลตามกฎของฮุกและไม่มีการสูญเสีย T=2\pi\sqrt{m/k} โดย m เป็นกิโลกรัม k เป็นนิวตันต่อเมตร มวลสี่เท่าทำให้คาบสองเท่า ค่าคงตัวสปริงสี่เท่าทำให้คาบครึ่งหนึ่ง แอมพลิจูดไม่อยู่ในสูตรตราบใดที่แรงยังเชิงเส้น หากเสียรูปมากเกินไป ความเป็นอิสระนี้ไม่รับประกัน

แรงโน้มถ่วงทำให้ลูกตุ้มอย่างง่ายกลับสู่สมดุล สำหรับอนุภาคจุดบนเชือกเบายืดไม่ได้ที่มุมเล็ก T=2\pi\sqrt{l/g} ความยาว l เป็นเมตรวัดจากจุดแขวนถึงศูนย์กลางมวล ส่วน g เป็น m/s² ลูกตุ้มยาวสั่นช้ากว่า g มากทำให้กลับเร็วขึ้น มวลตัดกันเพราะน้ำหนักและความเฉื่อยเพิ่มพร้อมกัน มุมมากและแรงต้านอากาศอยู่นอกเงื่อนไขสูตรนี้

เหตุใดจึงเร็วที่สุดตรงกลาง? แรงดึงกลับเร่งมวลมาถึงจุดนี้ และยังไม่เริ่มชะลอการเคลื่อนไปอีกปลาย สำหรับการสั่นฮาร์มอนิก แอมพลิจูดความเร็วคือ v_m=x_m\omega ในเมตรต่อวินาที ที่แอมพลิจูดเดิม ความถี่สองเท่าต้องเคลื่อนเร็วสองเท่า vₘ จึงเพิ่มสองเท่า ที่ปลายอัตราเร็วเป็นศูนย์ แต่มวลไม่ค้างอยู่ เพราะแรงเริ่มพากลับ

ในตัวสั่นอุดมคติ แรงตรงข้ามการกระจัด จึงมี a=-\omega^2x และขนาดสูงสุด a_m=x_m\omega^2 เพิ่ม ω สองเท่าที่แอมพลิจูดเดิมทำให้ขนาดความเร่งสี่เท่า หน่วยคือ m/s² ที่ปลาย |x| และ |a| สูงสุดแต่ความเร็วศูนย์ ที่สมดุล a=0 แต่อัตราเร็วสูงสุด ความเร็วศูนย์และความเร่งศูนย์เป็นคนละสภาพ อนุมานอันหนึ่งจากอีกอันไม่ได้

ระบบสปริงอุดมคติมีพลังงานรวมคงตัว: E_0=mv_m^2/2=kx_m^2/2 ในจูล ที่ปลายทั้งหมดเป็นพลังงานศักย์ ที่สมดุลทั้งหมดเป็นพลังงานจลน์ สมการจึงเทียบค่าสูงสุดที่เกิดต่างเวลา ไม่ใช่ผลบวกค่าสูงสุดพร้อมกัน แอมพลิจูดสองเท่าทำให้พลังงานรวมสี่เท่า เมื่อไม่มีการสูญเสีย พลังงานเดิมเปลี่ยนรูปซ้ำได้

ถ่ายภาพระหว่างปลายกับสมดุล สปริงยังเสียรูปและมวลกำลังเคลื่อน ตอนนี้ E_0=mv^2/2+kx^2/2 โดย v และ x เป็นขณะเดียวกัน ผลรวมคงตัวในแบบจำลองอุดมคติ แรงเสียดทานเปลี่ยนพลังงานกลบางส่วนเป็นพลังงานภายใน ทำให้พลังงานกลและแอมพลิจูดลด การบวกพลังงานสูงสุดสองชนิดจะทำให้พลังงานเริ่มต้นมากเกินจริงสองเท่า

มวลติดสปริงแนวนอนอุดมคติค่าคงตัว 100 N/m สั่นด้วยแอมพลิจูด 0.10 m จงหาพลังงานรวมและพลังงานจลน์ที่สมดุล

เริ่มพิจารณาที่ปลายซึ่งอัตราเร็วศูนย์ พลังงานรวมจึงเท่ากับพลังงานสปริงเมื่อ xₘ = 0,10 м

E₀ = kxₘ²/2 = 100 × 0,10²/2 = 0,50 Дж.

ที่สมดุล x = 0 สปริงแนวนอนไม่เสียรูปและมีพลังงานศักย์ศูนย์ ดังนั้น Eк = E₀ = 0,50 Дж

ห้ามบวกค่าสองค่านี้ เพราะเป็นพลังงานสะสมเดียวกันในคนละรูปที่ต่างเวลากัน

พลังงานรวม E = 0,50 Дж ที่สมดุลทั้งหมดเป็นพลังงานจลน์: Eк = 0,50 Дж

การสั่นซ้ำทั้งสภาพ การผ่านตำแหน่งเดิมในทิศตรงข้ามยังไม่ครบหนึ่งรอบ

เฟส แอมพลิจูด และความถี่อธิบายคนละด้านของการสั่นฮาร์มอนิก

อัตราเร็วสูงสุดที่กลาง ขนาดความเร่งสูงสุดที่ปลาย พลังงานสะสมคงตัวสลับระหว่างการเคลื่อนที่กับการเสียรูป

ต่อไปจะพบการแลกเปลี่ยนพลังงานคล้ายกันในวงจรไฟฟ้า