การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงตัวและกราฟ

ขณะนี้ผู้ขี่จักรยานสองคนมีอัตราเร็วเท่ากัน แต่คนหนึ่งกำลังเร่ง อีกคนกำลังเบรก อีกหนึ่งวินาทีต่อมา ตำแหน่งของทั้งคู่จะต่างกัน เราจะอธิบายสิ่งที่ค่าบนมาตรวัดความเร็วเพียงครั้งเดียวบอกไม่ได้อย่างไร?

การเดินทางอาจมีทั้งช่วงหยุดและช่วงที่เคลื่อนที่เร็ว ระยะทางทั้งหมดหารด้วยเวลาทั้งหมดให้อัตราเร็วเฉลี่ย แต่ไม่ได้บอกความเร็วในแต่ละตำแหน่ง หากต้องการความเร็วขณะหนึ่ง ให้พิจารณาความเร็วเฉลี่ยซึ่งเป็นเวกเตอร์ในช่วงเวลาที่สั้นลงเรื่อย ๆ ค่าลิมิตเมื่อช่วงเวลาเข้าใกล้ศูนย์คือความเร็วขณะหนึ่ง มาตรวัดความเร็วแสดงขนาดของเวกเตอร์นี้ ส่วนทิศของเวกเตอร์อยู่ตามเส้นสัมผัสแนวการเคลื่อนที่ อัตราเร็วเฉลี่ยเท่ากันจึงไม่ได้หมายถึงการเดินทางเหมือนกัน

ใน 2 s องค์ประกอบความเร็วเพิ่มจาก 3 เป็น 7 m/s ถ้าเปลี่ยนอย่างสม่ำเสมอ แต่ละวินาทีจะเพิ่มขึ้น (7 − 3)/2 = 2 м/с ความเร่งอธิบายอัตราการเปลี่ยนแปลงนี้: aₓ = (vₓ − v₀ₓ)/t มีหน่วย m/s² ถ้าความเร็วเปลี่ยนเป็นสองเท่าในเวลาเท่าเดิม ความเร่งก็เป็นสองเท่า ภายใต้เงื่อนไขความเร่งคงตัว ความเร็วต้นเท่ากับความเร็วปลายหมายถึงความเร่งเป็นศูนย์ หากไม่กำหนดให้เปลี่ยนสม่ำเสมอ อัตราส่วนนี้จะให้องค์ประกอบความเร่งเฉลี่ยเท่านั้น

อาจคิดว่าความเร่งลบทำให้วัตถุช้าลงเสมอ ลองตรวจสอบกับวัตถุที่เคลื่อนที่ในทิศลบ: vₓ เปลี่ยนจาก −3 เป็น −5 m/s องค์ประกอบความเร็วลดลง แต่ขนาดความเร็วเพิ่มขึ้น เมื่อ vₓ และ aₓ มีเครื่องหมายเดียวกัน วัตถุเคลื่อนที่เร็วขึ้น เมื่อเครื่องหมายตรงข้ามกัน วัตถุช้าลงจนถึงจุดที่อาจกลับทิศ ความเร่งอธิบายการเปลี่ยนเวกเตอร์ความเร็ว จึงต้องอ่านเครื่องหมายของมันควบคู่กับทิศการเคลื่อนที่

สมมติว่าแต่ละวินาที องค์ประกอบความเร็วเพิ่มขึ้นเท่ากันเป็น aₓ ในเวลา t วินาที จึงเพิ่มขึ้น aₓt และได้ vₓ = v₀ₓ + aₓt นี่คือกฎของการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงตัว ซึ่งเวกเตอร์ความเร่งไม่เปลี่ยน เมื่อ aₓ = 0 จะกลับเป็นการเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัว เมื่อ t = 0 จะได้ความเร็วเริ่มต้น หน่วยสอดคล้องกัน: м/с² · с = м/с เวลาเพิ่มสองเท่าทำให้ส่วนที่ความเร็วเปลี่ยนเพิ่มสองเท่า ไม่จำเป็นต้องทำให้ความเร็วทั้งหมดเป็นสองเท่า

วาดกราฟ vₓ(t) ความสูงของจุดบอกองค์ประกอบความเร็วขณะนั้น ส่วนความชันบอกการเปลี่ยนแปลงต่อหนึ่งหน่วยเวลา: aₓ = Δvₓ/Δt การเพิ่มเท่ากันทำให้กราฟเป็นเส้นตรง เส้นแนวนอนที่ระดับ 5 m/s หมายถึงเคลื่อนที่ด้วยความเร็วค่านี้โดยไม่มีความเร่ง เส้นที่ลาดลงชันกว่าหมายถึงความเร่งลบที่มีขนาดมากกว่า แต่จะบอกว่าเร็วขึ้นหรือช้าลง ต้องดูด้วยว่าเส้นอยู่เหนือหรือใต้ศูนย์

จะหาการกระจัดจากกราฟความเร็วได้อย่างไร? ในช่วงเวลาสั้น ๆ Δt ความเร็วเกือบคงตัว การกระจัดส่วนนี้จึงเป็น vₓΔt ซึ่งเท่ากับพื้นที่แถบแคบ เมื่อนำทุกแถบมารวมแบบคิดเครื่องหมาย จะได้องค์ประกอบของการกระจัด ใต้แกน vₓ เป็นลบ พิกัดจึงลดลง แต่การหาระยะทางต้องรวมขนาดของพื้นที่ เพราะช่วงทางที่ผ่านไม่ได้หายไปเมื่อกลับทิศ หน่วยของพื้นที่นี้คือ (м/с)·с = м

เมื่อความเร่งคงตัว พื้นที่ใต้เส้นตรง vₓ(t) ประกอบด้วยสี่เหลี่ยม v₀ₓt และพื้นที่สามเหลี่ยมที่เพิ่มเข้ามาแบบคิดเครื่องหมาย aₓt²/2 จึงได้ sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2 ตัวคูณครึ่งหนึ่งเกิดจากส่วนเพิ่มของความเร็วที่เริ่มจากศูนย์ ไม่ได้มีค่าเต็มตั้งแต่แรก ถ้าเริ่มจากหยุดนิ่ง เวลาเพิ่มสองเท่าทำให้การกระจัดเพิ่มสี่เท่า หากมีการกลับทิศ sₓ ยังบอกการเปลี่ยนพิกัด ไม่ใช่ระยะทางทั้งหมด

บางครั้งไม่ได้วัดเวลา แต่ทราบความเร็วต้นและความเร็วปลาย เมื่อตัด t ออกจากความสัมพันธ์สองสมการ จะได้ vₓ² − v₀ₓ² = 2aₓsₓ สำหรับ aₓ คงตัว สมการนี้เชื่อมการเปลี่ยนกำลังสองของความเร็วกับความเร่งและการกระจัด ถ้า aₓsₓ เป็นลบ กำลังสองของความเร็วจะลดลง องค์ประกอบทุกตัวต้องอ้างอิงแกนเดียวกัน และค่ากำลังสองของความเร็วปลายเพียงอย่างเดียวไม่ได้บอกทิศการเคลื่อนที่

ตรวจสอบได้อีกวิธี: เมื่อความเร็วเปลี่ยนเชิงเส้น องค์ประกอบความเร็วเฉลี่ยเท่ากับ (v₀ₓ + vₓ)/2 ค่าช่วงต้นที่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ยชดเชยกับค่าช่วงท้ายที่สูงกว่า เมื่อนำค่าเฉลี่ยคูณ t จะได้ sₓ เดิม ถ้าความเร็วคงตัว ค่าเฉลี่ยย่อมเท่ากับความเร็วนั้น หากมีการกลับทิศ องค์ประกอบความเร็วเฉลี่ยอาจเป็นศูนย์ทั้งที่ระยะทางเป็นบวก จึงต้องหาอัตราเร็วเฉลี่ยแยกต่างหาก

ผู้ขี่จักรยานเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว 8 m/s และเบรกด้วยความเร่งคงตัวขนาด 2 m/s² ในทิศตรงข้ามกับการเคลื่อนที่ จงหาเวลาและระยะทางจนหยุด

เลือกทิศไปข้างหน้าเป็นทิศบวก: v₀ₓ = 8 м/с, aₓ = −2 м/с² เมื่อหยุด vₓ = 0 ต้องลดจาก 8 m/s ลงทีละ 2 m/s ทุกวินาที

จาก 0 = 8 − 2t ได้ t = 4 с ก่อนถึงขณะนี้ ทิศการเคลื่อนที่ยังไม่เปลี่ยน

sₓ = 8 · 4 − 2 · 4²/2 = 16 м ค่านี้เท่ากับระยะทางด้วย เพราะผู้ขี่จักรยานไม่ได้กลับทิศ

ตรวจด้วยพื้นที่ใต้กราฟ: อัตราเร็วเฉลี่ยเป็น (8 + 0)/2 = 4 м/с จึงได้ระยะทาง 16 m ใน 4 s ไม่ควรใช้ความเร่งเดิมคำนวณต่อหลังหยุด เว้นแต่โจทย์กำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติม

ผู้ขี่จักรยานหยุดหลังจาก 4 s โดยเคลื่อนที่ไป 16 m ในช่วงนี้อัตราเร็วลดลงอย่างสม่ำเสมอจาก 8 m/s เป็นศูนย์

ความเร่งอธิบายการเปลี่ยนความเร็ว เครื่องหมายของความเร่งเพียงอย่างเดียวโดยไม่ดูเครื่องหมายความเร็ว ไม่ได้บอกว่าอัตราเร็วเพิ่มขึ้นหรือไม่

ความชันของกราฟความเร็วให้ความเร่ง ส่วนพื้นที่แบบคิดเครื่องหมายให้การเปลี่ยนพิกัด

สมการความเร่งคงตัวใช้ได้ในช่วงที่ความเร่งคงตัว หากมีการกลับทิศ ต้องคำนวณระยะทางและการกระจัดต่างกัน

ต่อไปจะใช้แนวคิดเรื่องความเร็วกับการตก การเลี้ยว และการเปลี่ยนผู้สังเกต